O que é uma Sucessão ?

Era uma vez uma bola Que caiu de uma janela Sobe e desce sempre metade Ninguém mais teve mão nela.

Quanto a bola andou Já a matemática demonstrou. Mas será verdade? Se a bola ainda não parou Como a soma se calculou?                 Maria Augusta

Antes de se definir o que é uma sucessão, decidiu-se apresentar alguns exemplos de sucesões:

a(n)=2 se n=1 e a(n)=n+3 se n>=2.

b(n)=n se n<3 e b(n)=b(n-1)+2 se n>=3.

O primeiro termo de a(n) vai ser a(1)=2, e o de b(n) vai ser b(1)=1.

O segundo termo de a(n) vai ser a(2)=2+3, e o de b(n) vai ser b(2)=2.

O terceiro termo de a(n) vai ser a(3)=3+3=6, e o de b(n) vai ser b(3)=b(3-1)+2=b(2)+2=4.

E assim sucessivamente.

Definição de sucessão: uma sucessão é uma aplicação do conjunto |N dos números naturais, num conjunto qualquer A.

Definição de sucessão de números reais: sucessão de números reais é uma aplicação de |N em |R. Este é o caso das sucessões de Fibonacci.

Representação de uma sucessão de números reais: é usual denotar-se uma determinada sucessão por f(n), fn ou ainda por (fn). Neste nosso trabalho utilizaremos f(n).

Termos de uma sucessão de números reais: as imagens, ou transformados, dos números
naturais denominamos por termos da sucessão.
A imagem de 1 será o 1º termo e representar-se-á por f(1)
A imagem de 2 será o 2º termo e representar-se-á por f(2)
A imagem de 3 será o 3º termo e representar-se-á por f(3)
..................................
A imagem de n será o n-ésimo termo e representar-se-á por f(n), também conhecido como termo geral de uma sucessão.

Modos de definir uma sucessão:

uma sucessão pode ser definida por:

• uma expressão designatória (termo geral)
• duas ou mais expressões designatórias
• uma fórmula de recorrência.

Os 100 primeiros números da sucessão de fibonacci

F(0) = 0                                              F(1) = 1                                              F(2) = 1                                                 F(3) = 2
F(4) = 3                                              F(5) = 5                                               F(6) = 8                                                F(7) = 13

F(8) = 21                                            F(9) = 34                                             F(10) = 55                                            F(11) = 89

F(12) = 144                                        F(13) = 233                                         F(14) = 377                                          F(15) = 610

F(16) = 987                                        F(17) = 1597                                       F(18) = 2584                                        F(19) = 4181

F(20) = 6765                                      F(21) = 10946                                     F(22) = 17711                                      F(23) = 28657

F(24) = 46368                                    F(25) = 75025                                     F(26) = 121393                                    F(27) = 196418

F(28) = 317811                                  F(29) = 514229                                   F(30) = 832040                                    F(31) = 1346269

F(32) = 2178309                                F(33) = 3524578                                 F(34) = 5702887                                  F(35) = 9227465

F(36) = 14930352                              F(37) = 24157817                               F(38) = 39088169                                F(39) = 63245986

F(40) = 102334155                            F(41) = 165580141                             F(42) = 267914296                              F(43) = 433494437

F(44) = 701408733                            F(45) = 1134903170                           F(46) = 1836311903                            F(47) = 2971215073

F(48) = 4807526976                          F(49) = 7778742049                           F(50) = 12586269025                          F(51) = 20365011074
F(52) = 32951280099                        F(53) = 53316291173                         F(54) = 86267571272                          F(55) = 139583862445

F(56) = 225851433717                      F(57) = 365435296162                       F(58) = 591286729879                        F(59) = 956722026041

F(60) = 1548008755920                    F(61) = 2504730781961                     F(62) = 4052739537881                      F(63) = 6557470319842

F(64) = 10610209857723                  F(65) = 17167680177565                   F(66) = 27777890035288                    F(67) = 44945570212853

F(68) = 72723460248141                  F(69) = 117669030460994                 F(70) = 190392490709135                  F(71) = 308061521170129

F(72) = 498454011879264                F(73) = 806515533049393                 F(74) = 1304969544928657                F(75) = 2111485077978050

F(76) = 3416454622906707              F(77) = 5527939700884757               F(78) = 8944394323791464                F(79) = 14472334024676221

F(80) = 23416728348467685            F(81) = 37889062373143906             F(82) = 61305790721611591              F(83) = 99194853094755497

F(84) = 160500643816367088         F(85) = 259695496911122585         F(86) = 420196140727489673            F(87) = 679891637638612258

F(88) = 1100087778366101931       F(89) = 1779979416004714189       F(90) = 2880067194370816120           F(91) = 4660046610375530309

F(92) = 7540113804746346429       F(93) = 12200160415121876738     F(94) = 19740274219868223167         F(95) = 31940434634990099905

F(96) = 51680708854858323072     F(97) = 83621143489848422977      F(98) = 135301852344706746049      F(99) = 218922995834555169026

Os números de Fibonacci e o triângulo de Pascal:

Como se constrói o triângulo de Pascal?

Para se saber um determinado número, basta somar os dois números imediatamente acima deste.

1

1     1

1     2    1

1      3     3     1

1      4     6     4      1

...

Por exemplo o número 4 da última linha é a adição do 1 com o 3 da linha anterior. E o número 3 obtém-se adicionando o 2 com o 1.

1

1     1

1     2    1

1    3    3     1

       1     4      6        4     1      

...

Se ainda não conseguiu ver como aparece a soma, repare:

Figura tirada de: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibmaths.html

Será possível encontrar os números de Fibonacci no triângulo de Pascal?

Vejamos:

A resposta está na fórmula abaixo. Esta é uma possível   maneira de representar o triângulo de Pascal:

F(n) =

Ou então:

F(n)  =

Será que a soma da diagonal é um número de Fibonacci?

É fácil ver que a diagonal é realmente a soma dos números de Fibonacci. Se nos lembrarmos, que cada número do triângulo de Pascal é a soma dos que são superiores a ele, temos que:

	colunas	0	1	2	3	4	...
L	0	1
I	1	1	1
N	2	1	2	1
H	3	1	3	3	1
A	4	1	4	6	4	1
S	5	1	5	10	10	5	1
	6	1	6	15	20	15	6	1

Se reparar, usando a notação: (colunas, linhas), temos:

Primeira diagonal: (0,0)=1

Segunda diagonal: (0,1)=1

Terceira diagonal: (2,0)+(1,1)=2

Quarta diagonal: (4,0)+(3,1)+(2,1)=5

Repare ainda que, a soma de uma diagonal, excluindo a primeira e a segunda, é a soma das duas diagonais anteriores consecutivas. Isto porque, F(n+2)=F(n)+F(n+1).

Propriedades da Sucessão de Fibonacci

Iremos agora apresentar algumas propriedades desta sucessão.

• A soma dos n primeiros números de Fibonacci é igual ao segundo termo seguinte ao último, menos uma unidade.

u₁+u₂+u₃+...+u_n = u_2n+1-1

• A soma dos números de Fibonacci de ordem ímpar é igual ao de ordem par seguinte.

u₁+u₃+u₅+...+u_2n-1 = u_2n

• A soma dos números de Fibonacci de ordem par é igual à diferença entre o de ordem ímpar seguinte e a unidade.

u₂+u₄+u₆+...+u_2n = u_2n+1-1

• A soma dos n primeiros números de Fibonacci tomados alternadamente com os sinais + e – é igual a (-1)ⁿ⁺¹u_n-1 + 1.

u₁-u₂+u₃- u₄...+ (-1)ⁿ⁺¹u_n = (-1)ⁿ⁺¹u_n-1 + 1

• A soma dos quadrados dos n primeiros números de Fibonacci é igual a u_n.u_n+1, ou seja

(u₁)²+(u₂)²+(u₃)²+...+(u_n-1)²+ (u_n)²=u_n.u_n+1

Outras Propriedades:

• u_n+m= u_n-1.u_m + u_n.u_m+1, com n>=m>=1
• (u_n+1)²=u_n.u_n+2+ (-1)ⁿ_, com n>=1
• u₁.u₂+u₂.u₃+u₃. u₄+...+u_2n-1.u_2n=(u_2n)²_, com n>=1
• u₁.u₂+u₂.u₃+u₃. u₄+...+u_2n.u_2n+1=(u_2n+1)²- 1_{, com n>=1}
• nu₁+(n-1)u₂+(n-2)u₃+...+2u_n-1 + u_n=u_n+4+(n-3)_{, com n>=1}

Ciclos nos números de Fibonacci

Como dissemos anteriormente existem ciclos formados com os últimos dígitos dos números de Fibonacci, veja-se alguns exemplos:

• Há um ciclo na coluna das unidades. O ciclo dos dígitos das unidades (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4,...), repete-se de 60 em 60 termos.
• Também há um ciclo nos dois últimos dígitos; (00, 01, 02, 03, 05, 08, 13, 21,...), repete-se de 300 em 300 termos.
• Nos 3 últimos dígitos o ciclo tem comprimento de 1 500 termos.
• Nos 4 últimos dígitos os números repetem-se de 15 000 em 15 000 termos.
• Os últimos dígitos repetem-se de 150 000 em 150 000 termos.
• Etc.

Múltiplos dos Números de Fibonacci:

Olhe para a lista dos números de Fibonacci Começe por encontrar os números pares. Agora encontre os múltiplos de três. Os múltiplos de quatro ...

Repare que o terceiro número de Fibonacci é múltiplo de dois (F(3)=2).
Se reparar, F(3), F(6), F(9), F(12), ...F(3k), onde k é um número natural, são múltiplos de dois.
Os números de Fibonacci que são múltiplos de três são: F(4), F(8), F(12),..., F(4k), onde k é número natural (F(4)=3).
Isto sugere que F(5k) é múltiplo de cinco (F(5)=5); F(6k) é múltiplo de oito (F(6)=8),...

Geralmente, podemos afirmar que:

O k-ésimo número de Fibonacci é múltiplo de F(k).

Ou de uma outra forma:

F(nk) é múltiplo de F(k), com k um número natural.

Os números de Fibonacci e o triângulo de Pitágoras

O triângulo de Pitágoras é um triângulo rectângulo.

Em qualquer triângulo rectângulo com lados s, t e o lado maior h (hipotenusa), o teorema de Pitágoras estabelece a relação s2 + t2 = h2, com s, t, h números inteiros. No caso do triângulo apresentado ao lado temos: s=3, t=4 e h=5.

Aqui está uma lista de alguns dos mais pequenos triângulos de Pitágoras:

s	t	h
3	4	5	*
6	8	10	2×(3, 4, 5)
5	12	13	*
9	12	15	3×(3, 4, 5)
8	15	17	*
12	16	20	4×(3, 4, 5)
7	24	25	*
15	20	25	5×(3, 4, 5)
10	24	26	2×(5, 12, 13)
20	25	29	*

Como deve ter reparado, alguns dos triângulos são ampliações dos triângulos assinalados com *. Os triângulos marcados com * denominam-se triângulos de Pitágoras primitivos.
Será que podemos usar os números de Fibonacci para fazer Triângulos de Pitágoras?
Vamos ver que é possivel, usando 4 números de Fibonacci consecutivos. Sejam a, b números de Fibonacci consecutivos e considerando a+b e a+2b (=(a+b)+b), temos que:

1) - multiplicando b por a+b resulta c

2) - duplicando o resultado do 1º, tem-se 2c

3) - multiplicando a por a+2b, obtém-se d

4) - somando o quadrado de b com o quadrado de a+b obtém-se e, o lado mais longo do triângulo.

Assim, com estes dados, chegamos ao triângulo pretendido, cujos lados são 2c, d e e.

Exemplo:

Se tivermos a=3 e b=5, vem a+b=8 e a+2b=13

Dado que c = b×(a+b) obtém-se c=40

Por 2) tem-se 2c = 80

Considerando d = a×(a+2b) e substituindo os respectivos valores, resulta d=39

Considerando e = b²+(a+b)² e atribuindo os devidos valores obtém-se: e = 25 + 64 = 89

Confirmação:

e² = c²+d² ou seja 89² = 80²+39²

7921 = 6400+1521

7921 = 7921