Os números de Fibonacci e o triângulo de Pitágoras

O triângulo de Pitágoras é um triângulo rectângulo.

Em qualquer triângulo rectângulo com lados s, t e o lado maior h (hipotenusa), o teorema de Pitágoras estabelece a relação s2 + t2 = h2, com s, t, h números inteiros. No caso do triângulo apresentado ao lado temos: s=3, t=4 e h=5.

Aqui está uma lista de alguns dos mais pequenos triângulos de Pitágoras:

s	t	h
3	4	5	*
6	8	10	2×(3, 4, 5)
5	12	13	*
9	12	15	3×(3, 4, 5)
8	15	17	*
12	16	20	4×(3, 4, 5)
7	24	25	*
15	20	25	5×(3, 4, 5)
10	24	26	2×(5, 12, 13)
20	25	29	*

Como deve ter reparado, alguns dos triângulos são ampliações dos triângulos assinalados com *. Os triângulos marcados com * denominam-se triângulos de Pitágoras primitivos.
Será que podemos usar os números de Fibonacci para fazer Triângulos de Pitágoras?
Vamos ver que é possivel, usando 4 números de Fibonacci consecutivos. Sejam a, b números de Fibonacci consecutivos e considerando a+b e a+2b (=(a+b)+b), temos que:

1) - multiplicando b por a+b resulta c

2) - duplicando o resultado do 1º, tem-se 2c

3) - multiplicando a por a+2b, obtém-se d

4) - somando o quadrado de b com o quadrado de a+b obtém-se e, o lado mais longo do triângulo.

Assim, com estes dados, chegamos ao triângulo pretendido, cujos lados são 2c, d e e.

Exemplo:

Se tivermos a=3 e b=5, vem a+b=8 e a+2b=13

Dado que c = b×(a+b) obtém-se c=40

Por 2) tem-se 2c = 80

Considerando d = a×(a+2b) e substituindo os respectivos valores, resulta d=39

Considerando e = b²+(a+b)² e atribuindo os devidos valores obtém-se: e = 25 + 64 = 89

Confirmação:

e² = c²+d² ou seja 89² = 80²+39²

7921 = 6400+1521

7921 = 7921