Propriedades da Sucessão de Fibonacci

Iremos agora apresentar algumas propriedades desta sucessão.

• A soma dos n primeiros números de Fibonacci é igual ao segundo termo seguinte ao último, menos uma unidade.

u₁+u₂+u₃+...+u_n = u_2n+1-1

• A soma dos números de Fibonacci de ordem ímpar é igual ao de ordem par seguinte.

u₁+u₃+u₅+...+u_2n-1 = u_2n

• A soma dos números de Fibonacci de ordem par é igual à diferença entre o de ordem ímpar seguinte e a unidade.

u₂+u₄+u₆+...+u_2n = u_2n+1-1

• A soma dos n primeiros números de Fibonacci tomados alternadamente com os sinais + e – é igual a (-1)ⁿ⁺¹u_n-1 + 1.

u₁-u₂+u₃- u₄...+ (-1)ⁿ⁺¹u_n = (-1)ⁿ⁺¹u_n-1 + 1

• A soma dos quadrados dos n primeiros números de Fibonacci é igual a u_n.u_n+1, ou seja

(u₁)²+(u₂)²+(u₃)²+...+(u_n-1)²+ (u_n)²=u_n.u_n+1

Outras Propriedades:

• u_n+m= u_n-1.u_m + u_n.u_m+1, com n>=m>=1
• (u_n+1)²=u_n.u_n+2+ (-1)ⁿ_, com n>=1
• u₁.u₂+u₂.u₃+u₃. u₄+...+u_2n-1.u_2n=(u_2n)²_, com n>=1
• u₁.u₂+u₂.u₃+u₃. u₄+...+u_2n.u_2n+1=(u_2n+1)²- 1_{, com n>=1}
• nu₁+(n-1)u₂+(n-2)u₃+...+2u_n-1 + u_n=u_n+4+(n-3)_{, com n>=1}