Número de ouro

 Vai-se então exemplificar um dos raciocínios que se usava para explicar este número:
Considere-se o segmento de recta, cujas duas extremidades se denominarão de A e C, e colocando um ponto B entre A e C (neste caso o ponto B estará mais perto de A) , de maneira a que a razão do segmento de recta mais pequeno(AB) para o maior(BC) seja igual à razão do maior segmento(BC) para o segmento todo(AC):

A razão entre os comprimentos deste segmentos designa-se habitualmente por secção áurea. Equacionalmente tem-se:

(AB)/(BC) = (BC)/(AC)

Está então preparado para definir o número de ouro.
Se se fizer: AB = y
                    BC = x
                    AC = x + y
O número de ouro vai ser a razão entre x e y:

Y/x = x/(x+y)

Se se substituir ainda y por 1 tem-se:

1/x =x /(x+1)

Multiplicando em cruz, obtém-se:

( x + 1 ) = x² Û x² - x – 1 = 0

Resolvendo esta equação quadrática, obtém-se as seguintes soluções:

x₁ = ( 1 + Ö 5) / 2 ; x₂ = ( 1 - Ö5 ) / 2

Não se irá considerar o segundo valor ( x₂), tendo em conta que o comprimento de um polígono, nunca poderá ser negativo.
Chega-se então ao que se pretende, isto é, encontrou-se o tão esperado número de ouroj(Phi):

j = ( 1 + Ö 5 )/2