Um truque com os números de Fibonacci

Vamos apresentar um truque que explicaremos de seguida.

Repare na conversa entre estes dois amigos.

Maria: Escolhe dois números não muito grandes porque vais ter que os adicionar. Escreve-os como se os fosses adicionar.

João: Já está.

            21

            74

Maria: Agora adiciona-os e escreve o seu resultado por baixo.

João: Acho que vou usar a calculadora. Já está.

            21

            74

            95

Maria: Agora adiciona o número que obtiveste com o segundo.Agora vai sempre adicionando o último com o penúltimo até obteres 10 números.

João: Pronto, já tenho dez números. Repara:

            21

            74

            95

            169

            264

            433

            697

            1130

            1827

            2957

Maria: Agora vou ver a soma num instante sem fazer contas!... O resultado é 7667

João: Na calculadora também é. Como conseguiste?

Maria: A soma é onze vezes o quarto número a contar do fim.

João: Pois 11*697 é 7667!

Como é que funciona?

Vamos supor que os números que o João escolheu são: A e B. Temos:

A*

     B*

A + B*

A+2B*

2A+3B

3A+5B

5A+8B

8A+13B

13A+21B

21A+34B

O * simbolisa os números escolhidos inicialmente. A soma dos dez é 55A+88B. Olhando para o quarto número a contar de baixo, 5A+8B e multiplicando por onze, dá mesmo a soma dos dez. Se reparar, todos os múltiplos de A e B são números de Fibonacci. Esta soma de dez números de Fibonacci funciona com todos os possíveis valores dados a A e B.