O que é uma Sucessão ?

Era uma vez uma bola Que caiu de uma janela Sobe e desce sempre metade Ninguém mais teve mão nela.

Quanto a bola andou Já a matemática demonstrou. Mas será verdade? Se a bola ainda não parou Como a soma se calculou?                 Maria Augusta

Antes de se definir o que é uma sucessão, decidiu-se apresentar alguns exemplos de sucesões:

a(n)=2 se n=1 e a(n)=n+3 se n>=2.

b(n)=n se n<3 e b(n)=b(n-1)+2 se n>=3.

O primeiro termo de a(n) vai ser a(1)=2, e o de b(n) vai ser b(1)=1.

O segundo termo de a(n) vai ser a(2)=2+3, e o de b(n) vai ser b(2)=2.

O terceiro termo de a(n) vai ser a(3)=3+3=6, e o de b(n) vai ser b(3)=b(3-1)+2=b(2)+2=4.

E assim sucessivamente.

Definição de sucessão: uma sucessão é uma aplicação do conjunto |N dos números naturais, num conjunto qualquer A.

Definição de sucessão de números reais: sucessão de números reais é uma aplicação de |N em |R. Este é o caso das sucessões de Fibonacci.

Representação de uma sucessão de números reais: é usual denotar-se uma determinada sucessão por f(n), fn ou ainda por (fn). Neste nosso trabalho utilizaremos f(n).

Termos de uma sucessão de números reais: as imagens, ou transformados, dos números
naturais denominamos por termos da sucessão.
A imagem de 1 será o 1º termo e representar-se-á por f(1)
A imagem de 2 será o 2º termo e representar-se-á por f(2)
A imagem de 3 será o 3º termo e representar-se-á por f(3)
..................................
A imagem de n será o n-ésimo termo e representar-se-á por f(n), também conhecido como termo geral de uma sucessão.

Modos de definir uma sucessão:

uma sucessão pode ser definida por:

• uma expressão designatória (termo geral)
• duas ou mais expressões designatórias
• uma fórmula de recorrência.

Os 100 primeiros números da sucessão de fibonacci

F(0) = 0                                              F(1) = 1                                              F(2) = 1                                                 F(3) = 2
F(4) = 3                                              F(5) = 5                                               F(6) = 8                                                F(7) = 13

F(8) = 21                                            F(9) = 34                                             F(10) = 55                                            F(11) = 89

F(12) = 144                                        F(13) = 233                                         F(14) = 377                                          F(15) = 610

F(16) = 987                                        F(17) = 1597                                       F(18) = 2584                                        F(19) = 4181

F(20) = 6765                                      F(21) = 10946                                     F(22) = 17711                                      F(23) = 28657

F(24) = 46368                                    F(25) = 75025                                     F(26) = 121393                                    F(27) = 196418

F(28) = 317811                                  F(29) = 514229                                   F(30) = 832040                                    F(31) = 1346269

F(32) = 2178309                                F(33) = 3524578                                 F(34) = 5702887                                  F(35) = 9227465

F(36) = 14930352                              F(37) = 24157817                               F(38) = 39088169                                F(39) = 63245986

F(40) = 102334155                            F(41) = 165580141                             F(42) = 267914296                              F(43) = 433494437

F(44) = 701408733                            F(45) = 1134903170                           F(46) = 1836311903                            F(47) = 2971215073

F(48) = 4807526976                          F(49) = 7778742049                           F(50) = 12586269025                          F(51) = 20365011074
F(52) = 32951280099                        F(53) = 53316291173                         F(54) = 86267571272                          F(55) = 139583862445

F(56) = 225851433717                      F(57) = 365435296162                       F(58) = 591286729879                        F(59) = 956722026041

F(60) = 1548008755920                    F(61) = 2504730781961                     F(62) = 4052739537881                      F(63) = 6557470319842

F(64) = 10610209857723                  F(65) = 17167680177565                   F(66) = 27777890035288                    F(67) = 44945570212853

F(68) = 72723460248141                  F(69) = 117669030460994                 F(70) = 190392490709135                  F(71) = 308061521170129

F(72) = 498454011879264                F(73) = 806515533049393                 F(74) = 1304969544928657                F(75) = 2111485077978050

F(76) = 3416454622906707              F(77) = 5527939700884757               F(78) = 8944394323791464                F(79) = 14472334024676221

F(80) = 23416728348467685            F(81) = 37889062373143906             F(82) = 61305790721611591              F(83) = 99194853094755497

F(84) = 160500643816367088         F(85) = 259695496911122585         F(86) = 420196140727489673            F(87) = 679891637638612258

F(88) = 1100087778366101931       F(89) = 1779979416004714189       F(90) = 2880067194370816120           F(91) = 4660046610375530309

F(92) = 7540113804746346429       F(93) = 12200160415121876738     F(94) = 19740274219868223167         F(95) = 31940434634990099905

F(96) = 51680708854858323072     F(97) = 83621143489848422977      F(98) = 135301852344706746049      F(99) = 218922995834555169026

Os números de Fibonacci e o triângulo de Pascal:

Como se constrói o triângulo de Pascal?

Para se saber um determinado número, basta somar os dois números imediatamente acima deste.

1

1     1

1     2    1

1      3     3     1

1      4     6     4      1

...

Por exemplo o número 4 da última linha é a adição do 1 com o 3 da linha anterior. E o número 3 obtém-se adicionando o 2 com o 1.

1

1     1

1     2    1

1    3    3     1

       1     4      6        4     1      

...

Se ainda não conseguiu ver como aparece a soma, repare:

Figura tirada de: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibmaths.html

Será possível encontrar os números de Fibonacci no triângulo de Pascal?

Vejamos:

A resposta está na fórmula abaixo. Esta é uma possível   maneira de representar o triângulo de Pascal:

F(n) =

Ou então:

F(n)  =

Será que a soma da diagonal é um número de Fibonacci?

É fácil ver que a diagonal é realmente a soma dos números de Fibonacci. Se nos lembrarmos, que cada número do triângulo de Pascal é a soma dos que são superiores a ele, temos que:

	colunas	0	1	2	3	4	...
L	0	1
I	1	1	1
N	2	1	2	1
H	3	1	3	3	1
A	4	1	4	6	4	1
S	5	1	5	10	10	5	1
	6	1	6	15	20	15	6	1

Se reparar, usando a notação: (colunas, linhas), temos:

Primeira diagonal: (0,0)=1

Segunda diagonal: (0,1)=1

Terceira diagonal: (2,0)+(1,1)=2

Quarta diagonal: (4,0)+(3,1)+(2,1)=5

Repare ainda que, a soma de uma diagonal, excluindo a primeira e a segunda, é a soma das duas diagonais anteriores consecutivas. Isto porque, F(n+2)=F(n)+F(n+1).

Propriedades da Sucessão de Fibonacci

Iremos agora apresentar algumas propriedades desta sucessão.

• A soma dos n primeiros números de Fibonacci é igual ao segundo termo seguinte ao último, menos uma unidade.

u₁+u₂+u₃+...+u_n = u_2n+1-1

• A soma dos números de Fibonacci de ordem ímpar é igual ao de ordem par seguinte.

u₁+u₃+u₅+...+u_2n-1 = u_2n

• A soma dos números de Fibonacci de ordem par é igual à diferença entre o de ordem ímpar seguinte e a unidade.

u₂+u₄+u₆+...+u_2n = u_2n+1-1

• A soma dos n primeiros números de Fibonacci tomados alternadamente com os sinais + e – é igual a (-1)ⁿ⁺¹u_n-1 + 1.

u₁-u₂+u₃- u₄...+ (-1)ⁿ⁺¹u_n = (-1)ⁿ⁺¹u_n-1 + 1

• A soma dos quadrados dos n primeiros números de Fibonacci é igual a u_n.u_n+1, ou seja

(u₁)²+(u₂)²+(u₃)²+...+(u_n-1)²+ (u_n)²=u_n.u_n+1

Outras Propriedades:

• u_n+m= u_n-1.u_m + u_n.u_m+1, com n>=m>=1
• (u_n+1)²=u_n.u_n+2+ (-1)ⁿ_, com n>=1
• u₁.u₂+u₂.u₃+u₃. u₄+...+u_2n-1.u_2n=(u_2n)²_, com n>=1
• u₁.u₂+u₂.u₃+u₃. u₄+...+u_2n.u_2n+1=(u_2n+1)²- 1_{, com n>=1}
• nu₁+(n-1)u₂+(n-2)u₃+...+2u_n-1 + u_n=u_n+4+(n-3)_{, com n>=1}

Ciclos nos números de Fibonacci

Como dissemos anteriormente existem ciclos formados com os últimos dígitos dos números de Fibonacci, veja-se alguns exemplos:

• Há um ciclo na coluna das unidades. O ciclo dos dígitos das unidades (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4,...), repete-se de 60 em 60 termos.
• Também há um ciclo nos dois últimos dígitos; (00, 01, 02, 03, 05, 08, 13, 21,...), repete-se de 300 em 300 termos.
• Nos 3 últimos dígitos o ciclo tem comprimento de 1 500 termos.
• Nos 4 últimos dígitos os números repetem-se de 15 000 em 15 000 termos.
• Os últimos dígitos repetem-se de 150 000 em 150 000 termos.
• Etc.

Múltiplos dos Números de Fibonacci:

Olhe para a lista dos números de Fibonacci Começe por encontrar os números pares. Agora encontre os múltiplos de três. Os múltiplos de quatro ...

Repare que o terceiro número de Fibonacci é múltiplo de dois (F(3)=2).
Se reparar, F(3), F(6), F(9), F(12), ...F(3k), onde k é um número natural, são múltiplos de dois.
Os números de Fibonacci que são múltiplos de três são: F(4), F(8), F(12),..., F(4k), onde k é número natural (F(4)=3).
Isto sugere que F(5k) é múltiplo de cinco (F(5)=5); F(6k) é múltiplo de oito (F(6)=8),...

Geralmente, podemos afirmar que:

O k-ésimo número de Fibonacci é múltiplo de F(k).

Ou de uma outra forma:

F(nk) é múltiplo de F(k), com k um número natural.

Os números de Fibonacci e o triângulo de Pitágoras

O triângulo de Pitágoras é um triângulo rectângulo.

Em qualquer triângulo rectângulo com lados s, t e o lado maior h (hipotenusa), o teorema de Pitágoras estabelece a relação s2 + t2 = h2, com s, t, h números inteiros. No caso do triângulo apresentado ao lado temos: s=3, t=4 e h=5.

Aqui está uma lista de alguns dos mais pequenos triângulos de Pitágoras:

s	t	h
3	4	5	*
6	8	10	2×(3, 4, 5)
5	12	13	*
9	12	15	3×(3, 4, 5)
8	15	17	*
12	16	20	4×(3, 4, 5)
7	24	25	*
15	20	25	5×(3, 4, 5)
10	24	26	2×(5, 12, 13)
20	25	29	*

Como deve ter reparado, alguns dos triângulos são ampliações dos triângulos assinalados com *. Os triângulos marcados com * denominam-se triângulos de Pitágoras primitivos.
Será que podemos usar os números de Fibonacci para fazer Triângulos de Pitágoras?
Vamos ver que é possivel, usando 4 números de Fibonacci consecutivos. Sejam a, b números de Fibonacci consecutivos e considerando a+b e a+2b (=(a+b)+b), temos que:

1) - multiplicando b por a+b resulta c

2) - duplicando o resultado do 1º, tem-se 2c

3) - multiplicando a por a+2b, obtém-se d

4) - somando o quadrado de b com o quadrado de a+b obtém-se e, o lado mais longo do triângulo.

Assim, com estes dados, chegamos ao triângulo pretendido, cujos lados são 2c, d e e.

Exemplo:

Se tivermos a=3 e b=5, vem a+b=8 e a+2b=13

Dado que c = b×(a+b) obtém-se c=40

Por 2) tem-se 2c = 80

Considerando d = a×(a+2b) e substituindo os respectivos valores, resulta d=39

Considerando e = b²+(a+b)² e atribuindo os devidos valores obtém-se: e = 25 + 64 = 89

Confirmação:

e² = c²+d² ou seja 89² = 80²+39²

7921 = 6400+1521

7921 = 7921

A Espiral de Fibonacci

12+12+22+32+52+82+132 = 13×21

Nos outros rectângulos temos que:

1²+1² = 1×2

1²+1²+2² = 2×3

1²+1²+2²+3² = 35

1²+1²+2²+3²+5² = 5×8

1²+1²+2²+3²+5²+8² = 8×13

Pode-se então deduzir:

1²+1²+2² +...+F(n)² = F(n)×F(n+1), n natural

Realmente isto verifica-se para todo o número natural superior a 1.

Um truque com os números de Fibonacci

Vamos apresentar um truque que explicaremos de seguida.

Repare na conversa entre estes dois amigos.

Maria: Escolhe dois números não muito grandes porque vais ter que os adicionar. Escreve-os como se os fosses adicionar.

João: Já está.

            21

            74

Maria: Agora adiciona-os e escreve o seu resultado por baixo.

João: Acho que vou usar a calculadora. Já está.

            21

            74

            95

Maria: Agora adiciona o número que obtiveste com o segundo.Agora vai sempre adicionando o último com o penúltimo até obteres 10 números.

João: Pronto, já tenho dez números. Repara:

            21

            74

            95

            169

            264

            433

            697

            1130

            1827

            2957

Maria: Agora vou ver a soma num instante sem fazer contas!... O resultado é 7667

João: Na calculadora também é. Como conseguiste?

Maria: A soma é onze vezes o quarto número a contar do fim.

João: Pois 11*697 é 7667!

Como é que funciona?

Vamos supor que os números que o João escolheu são: A e B. Temos:

A*

     B*

A + B*

A+2B*

2A+3B

3A+5B

5A+8B

8A+13B

13A+21B

21A+34B

O * simbolisa os números escolhidos inicialmente. A soma dos dez é 55A+88B. Olhando para o quarto número a contar de baixo, 5A+8B e multiplicando por onze, dá mesmo a soma dos dez. Se reparar, todos os múltiplos de A e B são números de Fibonacci. Esta soma de dez números de Fibonacci funciona com todos os possíveis valores dados a A e B.

CURIOSIDADES SOBRE A NATUREZA

Os dedos de Fibonacci:

Olhe para a sua mão! Consegue ver: 2 mãos cada uma com... 5 dedos, cada um tem... 3 partes separadas por... 2 nós

Pétalas nas flores:

Em algumas plantas o número de pétalas é um número de Fibonacci:

3 pétalas: lírio, açucena, íris, trandescância.

5 pétalas: botão de ouro, rosa selvagem, columbine, esporas, capuchinha.

8 pétalas: delphiniums, anémona.

13 pétalas: malmequer, cineraria, ragwort.

21 pétalas: áster, olhado preto, susana, chicória.

34 pétalas: tanchagem, píretro, dália.

55,89 pétalas: margaridas(várias), a família asteraceae.

Algumas destas flores têm mesmo este número preciso de pétalas, outras podem variar mas sempre com um número de pétalas, perto do de Fibonacci.

Para fazer com uma couve-flor:

Olha para a couve-flor: As florinhas estão organizadas em espirais como as coroas de sementes. Conte o número de florinhas que estão fixas a uma distância do centro. O número de uma direcção e da outra será um número de Fibonacci, como já vimos(sementes e folhas).

• Olhe mais perto para uma flor isolada. É uma mini couve-flor! Cada uma tem as suas florinhas organizadas em espirais. Se contar as espirais para as duas direcções, elas serão números de Fibonacci.

CURIOSIDADES SOBRE A ARTE E A ARQUITECTURA

Existem muitos livros e artigos que se referem ao rectângulo de ouro como a forma mais harmoniosa,
sendo usado em estruturas de música,  arquitetónicas e em obras de arte.
Temos por exemplo em Atenas, uma construção bastante conhecida do tempo dos Gregos, que se chama
Partenon. Foi construído por volta de 430 a. c. e, como se pode analisar pela figura abaixo, a sua
estrutura baseia-se possivelmente num rectângulo de ouro .

Apesar da "forma mais harmoniosa" ter origem apenas no fim de 1800, não quer dizer que  esta forma não tenha sido já usada, quer pelos Gregos, quer pelos Egipcios ou pelos Babilónios, visto que, tanto as pirâmides como o próprio Partenon, ruíram ou deterioraram-se através dos tempos, não sendo possível saber ao certo as exactas medidas utilizadas.

Na arte, um dos quadros que ficou bastante conhecido e onde se encontra o rectângulo de ouro, é na
Gioconda(em 1505) de Leonardo Da Vinci. Se reparar, no seu rosto está inscrito um rectângulo de ouro. Na altura, este quadro foi uma inovação, que se desenvolveu também com a ajuda de Luca Pacioli, autor da Divina Proporção.

Em relação há música, Stradivari usou-o nos seus famosos violinos. Também se pode encontrar nas obras de Mozart (sonatas).

Número de ouro

 Vai-se então exemplificar um dos raciocínios que se usava para explicar este número:
Considere-se o segmento de recta, cujas duas extremidades se denominarão de A e C, e colocando um ponto B entre A e C (neste caso o ponto B estará mais perto de A) , de maneira a que a razão do segmento de recta mais pequeno(AB) para o maior(BC) seja igual à razão do maior segmento(BC) para o segmento todo(AC):

A razão entre os comprimentos deste segmentos designa-se habitualmente por secção áurea. Equacionalmente tem-se:

(AB)/(BC) = (BC)/(AC)

Está então preparado para definir o número de ouro.
Se se fizer: AB = y
                    BC = x
                    AC = x + y
O número de ouro vai ser a razão entre x e y:

Y/x = x/(x+y)

Se se substituir ainda y por 1 tem-se:

1/x =x /(x+1)

Multiplicando em cruz, obtém-se:

( x + 1 ) = x² Û x² - x – 1 = 0

Resolvendo esta equação quadrática, obtém-se as seguintes soluções:

x₁ = ( 1 + Ö 5) / 2 ; x₂ = ( 1 - Ö5 ) / 2

Não se irá considerar o segundo valor ( x₂), tendo em conta que o comprimento de um polígono, nunca poderá ser negativo.
Chega-se então ao que se pretende, isto é, encontrou-se o tão esperado número de ouroj(Phi):

j = ( 1 + Ö 5 )/2